Gilmour yang menyertai Chelsea daripada Rangers ketika berusia 16 tahun dan membuat kemunculan pasukan pertamanya, dua tahun kemudian, di bawah kendalian Frank Lampard pada Ogos 2019.
Pemain tengah itu menjelmakan impak segera tetapi sukar untuk memainkan peranannya secara kerap.
Thomas Tuchel, yang menggantikan Lampard awal tahun ini, turut memiliki khidmat N'Golo Kante, Jorginho dan Mateo Kovacic di posisi itu dengan kejayaan final Liga Juara-Juara (UCL) ke atas Manchester City.
Oleh itu, Chelsea bersetuju untuk menghantar Gilmour ke Norwich bagi menimba pengalaman di peringkat tertinggi.
"Saya sangat teruja untuk berada di sini," kata pemain yang menyerlah bersama Scotland dalam Euro 2020 itu.
"Saya tidak sabar-sabar lagi untuk mengharungi musim depan.
"Saya tidak sabar untuk ke mari, beraksi sebanyak mungkin dan membantu Norwich City bersaing dalam EPL.
"Saya bercakap dengan ketua jurulatih di sini. Dia menghubungi saya dan kami berbual baik tentang corak permainan yang ingin diterapkannya dan bagaimana dia melihat saya sesuai dalam perancangannya.
"Semua yang dikatakannya adalah tentang apa yang saya mahu lakukan di atas padang, menguasai bola dan menampilkan satu bentuk permainan yang menarik. Dia banyak bercakap tentang pasukannya hingga saya berminat untuk datang ke sini dan membantunya."