Ketika The Hammers sedang mendahului 2-1, Fabianski membenarkan rembatan kencang Mohamed Salah melepasi celah-celah kakinya sebelum sekali lagi ditewaskan oleh Sadio Mane pada minit ke-81.
Walaupun mempamerkan aksi melawan, West Ham akhirnya akur masih kekal di zon penyingkiran dengan perbezaan satu mata dengan zon selamat.
Ketika dia yakin Fabianski akan bangkit daripada kegagalan itu, Moyes menegaskan setiap kesilapan individu perlu dihentikan.
"Dia telah melakukan yang terbaik untuk kami tetapi apabila anda berada di kedudukan kami, apabila anda melakukan kesilapan individu, anda perlu segera melupakannya dan tidak membenarkannya untuk berlulang. Itulah perkara paling penting," kata pengurus West Ham itu dalam laman web pasukannya.
"Dia melakukan beberapa aksi menyelamat gemilang. Dia memaparkan aksi berkelas dunia ketika Liverpool melakukan percubaan.
"Tetapi sejujurnya, saya fikir kami mampu menghalang jaringan pertama mereka.
"Apabila anda datang ke Anfield, saya fikir anda sentiasa memerlukan aksi terbaik daripada penjaga gol anda.
"Apa sahaja keadaan pasukan anda, penjaga gol perlu beraksi baik kerana mereka berkemampuan untuk mencipta peluang dan percubaan.
"Lukasz telah melakukan yang terbaik buat kami dan ia boleh berlaku.
"Tetapi untuk kami menuju ke arah yang kami perlukan, kamu harus mengelakkan setiap kesilapan individu.
"Tidak kira di mana-mana posisi, kami perlu mempunyai kemampuan untuk melakukannya," katanya.
Liverpool take the points.#LIVWHU
— West Ham United (@WestHam) February 24, 2020